Teorema del seno y del coseno - Teoría y ejercicios de ejemplo

Trigonometría

La trigonometría es la rama de la Matemática que se encarga de estudiar las relaciones que existen entre los lados y los ángulos de los triángulos. Podemos encontrar muchísimas aplicaciones en varios ámbitos tales como la navegación, la arquitectura, la Física. Si lo trasladamos al desarrollo de videojuegos, la trigonometría nos permite modelar órbitas, definir posiciones de personajes, trabajar con ángulos entre enemigos y/o disparos, entre otros usos.

Notación

Para comprender los teoremas que veremos a continuación, es necesario identificar precisamente los elementos que componen al triángulo. Para ello, utilizaremos la siguiente notación:

Observen que los lados se nombran de acuerdo a los puntos extremos, mientras que los ángulos se nombran de acuerdo a su vértice.

Teorema del seno

En todo triángulo, la razón que existe entre un lado cualquiera y el seno del ángulo opuesto al mismo, es proporcional a la razón entre los lados y ángulos restantes. En símbolos:

Ejercicio de ejemplo:

Supongamos que nos encontramos en el videojuego Super Mario Bros. 3. Nuestro personaje, Mario, realiza un salto y vuela formando un ángulo de 30° con el suelo. A una distancia horizontal de 4 metros se encuentra un enemigo sujetado a una cadena que ataca a Mario estirándose por completo, de tal manera que forma un ángulo de 45° con la horizontal. ¿A qué distancia del punto inicial será atacado Mario? 

Resolución:

Comenzamos calculando el valor del ángulo B, recordando que debe sumar 180° junto con A y B:

Luego, teniendo en cuenta los datos conocidos y el faltante, aplicamos el teorema del seno:

Reemplazamos los datos por sus respectivos valores, obteniendo:

Teorema del coseno

En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo opuesto al lado. En símbolos:

Ejercicio de ejemplo:

Imaginemos que estamos en el videojuego Max Payne, a punto de realizar un disparo doble con tu personaje, ubicado en el punto A. Tus enemigos son dos personajes ubicados en los puntos B y C. El enemigo B se encuentra a 15 metros de distancia, y el C a 20 metros. ¿Cuál será la distancia entre tus enemigos si el ángulo de disparo es de 60°?

Resolución:

De acuerdo a los lados conocidos, utilizamos la ecuación correspondiente del teorema:

Reemplazamos por los respectivos valores de los lados y el ángulo:

Resumen

Utilizar un teorema u otro, dependerá siempre de los datos que se conozcan del triángulo en cuestión. 

El teorema del seno se aplica cuando:

- Los datos conocidos son 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

- Los datos conocidos son 2 ángulos y cualquier lado.

El teorema del coseno se aplica cuando:

-Se tiene el valor de 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos.

-Se tiene el valor de los 3 lados. 

De esta manera, cualquier situación problemática en la que se presente un triángulo, puede ser resuelta utilizando uno de estos teoremas.

Ejercicio integrador - Educaplay

Para finalizar y ponerte a prueba, te propongo que realices la actividad del siguiente enlace, luego de ver el video tutorial:

Actividad - Educaplay

Te invito a comentarme cómo te fue en los comentarios del blog, ¡Suerte!

Video

Video tutorial

Sucesión de Fibonacci y el Número Áureo.

 Explicación de la sucesión de Fibonacci: 

 La sucesión de Fibonacci es una secuencia de números enteros donde cada número es la suma de los dos anteriores, comenzando por 0 y 1.

Relación con el Número Áureo ($\phi$)

 El número áureo es una constante matemática que aparece de forma natural en la sucesión de Fibonacci. Se representa como $\varphi$ (phi)  

Relación con Fibonacci: Si se toma el cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci $\frac{F_n}{F_{n-1}}$, a medida que $n$ tiende al infinito, este cociente se aproxima al número áureo.

$$\lim_{n \to \infty} \frac{F_n}{F_{n-1}} = \varphi$$

El número áureo también aparece en geometría, específicamente en el rectángulo áureo, y tiene aplicaciones en arte, arquitectura y naturaleza, debido a su relación con la proporción áurea.

Ejercicios:

1) Busca obras de arte famosas o edificios que sigan la proporción áurea. Algunos ejemplos son:

1. El Partenón de Atenas.
2. La obra "La Gioconda" de Leonardo da Vinci.
3. El diseño de la Torre Eiffel.    

2) Dados los siguientes términos de la sucesión de Fibonacci:

$$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21$$

Pregunta: ¿Cuáles son los siguientes tres términos de la sucesión?

3) Calcula la diferencia entre los siguientes términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci:

1.  F7 - F6
2.  F8 - F7
3.  F9 - F8

​Escribe una Conclusión.

4) Imagina una sucesión similar a la de Fibonacci, pero en lugar de sumar los dos números anteriores para obtener el siguiente, suma los tres números anteriores. Si los primeros tres términos de tu sucesión son 

$\mathrm{1,1,2}<br>$ escribe los siguientes tres términos.

Evaluación

Crucigrama: Sucesión de Fibonacci (fibonacci)

Sopa de letras: Serie de Fibonacci

Video 

https://drive.google.com/file/d/1uVxh7dxmIsLKQky7_OFhNYkMR-CXLzkM/view?usp=drive_link

Teorema de Pitágoras

1) Material teórico:

Introducción

Pitágoras fue un filósofo y matemático griego, conocido principalmente por el teorema que lleva su nombre, fundamental en la geometría. Este teorema establece que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras

La fórmula del teorema es: c²=a²+b² donde c es la hipotenusa y, a y b son los catetos.

Hipotenusa

La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo, situado opuesto al ángulo recto. Es el lado que conecta los extremos de los catetos.

Catetos

Los catetos son los dos lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo. Uno de los catetos se considera el lado adyacente al ángulo de interés, mientras que el otro es el lado opuesto.

Lados Opuestos y Adyacentes

En relación a un ángulo en un triángulo rectángulo:

• Lado Opuesto: Es el lado que se encuentra directamente enfrente del ángulo considerado. En un triángulo con un ángulo de interés, este es el cateto que no toca el ángulo.

• Lado Adyacente: Es el lado que forma el ángulo junto con la hipotenusa. Es el cateto que está al lado del ángulo considerado.

Ejemplo:

Si tenemos un triángulo rectángulo con catetos de 3 cm y 4 cm:

Aplicamos la fórmula:

c²=3²+4²

Calculamos:
c²= 9+16
c²= 25

Tomamos la raíz cuadrada:

c =5 cm 

 

2) Ejercicios para practicar:

Ejercicio 1: Triángulo Rectángulo Básico

Datos: Un triángulo rectángulo tiene catetos de 5 cm y 12 cm.

Pregunta: ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?

Solución:

Aplicamos la fórmula:

c²=5²+12²

Calculamos:

c²=25+144

c²=169

Tomamos la raíz cuadrada:

c=13 cm

Ejercicio 2: Cateto Desconocido

Datos: En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 cm y uno de los catetos mide 6 cm.

Pregunta: ¿Cuál es la longitud del otro cateto?

Solución:

Usamos la fórmula:

10²=6²+b²    donde b es el otro cateto

Calculamos:

100=36+b²

Despejamos b:

b²=100-36

b²=64

Tomamos la raíz cuadrada: 

b=8 cm

Ejercicio 3: Problema Aplicado

Situación: Un escalera de 15 m de largo se apoya contra una pared. La base de la escalera está a 9 m de la pared.

Pregunta: ¿A qué altura de la pared llega la escalera?

Solución:

Identificamos los lados: la hipotenusa es 15 m y un cateto es 9 m.

Aplicamos la fórmula:

15²=9²+h²  donde h es la altura de la escalera

Calculamos:

225=81+h²

Despejamos h:

h²=225-81

h²=144

Tomamos la raíz cuadrada:

h=12 m

Ejercicio 4: Triángulo Isósceles

Datos: En un triángulo isósceles rectángulo, cada cateto mide 7 cm.

Pregunta: ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?

Solución:

Aplicamos la fórmula:

c²=7²+7²

Calculamos:

c²=49+49

c²=98

Tomamos la raíz cuadrada:

c=9,9 cm

3) Evaluando a través del juego:

Práctica

Teórico

4) Video